Partiell integration med Tic-Tac-Toe

Nyligen såg jag filmen Stand and Deliver från 1988 som handlar om hur Jaime Escalante, en hyperengagerande mattelärare, undervisar några High School-kids i Calculus. Filmen innehåller både spanska och 80-talets LA och är verklighetsbaserad så what’s not to like? But wait there’s more! Man kan till och med lära sig lite tips för när man räknar matte och det ska vi kika närmare på i det här inlägget.

I en av filmens scener får vi se hur Mr. Escalante lär ut ett trick för att lösa integraler med partiell integration, vilket kan vara både enkelt och svårt. Enkelt för att det är såhär man gör:

\int \! f(x)g(x) \, \mathrm{d}x = F(x)g(x) - \int \! F(x)g'(x) \, \mathrm{d}x

Svårt för att som vi ser i formeln ovan ges en ny integral som vi eventuellt måste lösa med en ny partiell integration. Håller man inte tungan rätt i mun kan man hamna i en oändlig loop av integraler, och det är ingen dunderhit. Dessutom måste man hålla koll på minustecknen, något som kan ställa till det även för den bäste. Med Tic-Tac-Toe-metoden blir det förhoppningsvis lite lättare. Vi tar ett exempel för att visa hur det går till. Integralen vi vill lösa lyder som följer:

\int \! x^3sin(x) \, \mathrm{d}x

Av uppenbara orsaker väljer vi att derivera polynomet och integrera den trigonometriska funktionen. (Om det inte är uppenbart för läsaren kan ni prova att göra tvärtom.) Vi börjar med att ställa upp en tabell med tre kolumner där den vänstra kolumnen består av upprepade deriveringar av vårt polynom, ända tills vi får 0. Låt mig demonstrera:

x^3
3x^2
6x
6
0

Nästa steg är att fylla den mittersta kolumnen med upprepade integrationer av vår trigonometriska funktion sin(x). Detta pågår lika många gånger som vi deriverade polynomet. Såhär alltså:

x^3 sin(x)
3x^2 -cos(x)
6x -sin(x)
6 cos(x)
0 sin(x)

Den tredje och sista kolumnen ska fyllas med omväxlande plus- och minus-tecken. Den översta raden har ingen betydelse, så där skriver jag ”Tecken” och därefter fyller jag i kolumnen. Först plus, sen minus, sen plus osv.

x^3 sin(x) Tecken
3x^2 -cos(x) +
6x -sin(x) -
6 cos(x) +
0 sin(x) -

Tabellen är ifylld och nu är det äntligen dags att spela Tic-Tac-Toe! Vi ska skapa grupper om tre delar: en del polynom, en del trigfunk och ett tecken. Grupperingen sker genom att ta den översta vänstra cellens polynom, gå snett neråt höger för trigfunktionen och sen ett steg åt höger för tecknet. Det där var lite krångligt att skriva, så jag slänger på lite visuella förbättringar i tabellen i form av färger och pilar:

x^3 sin(x) Tecken
3x^2 -cos(x) +
6x -sin(x) -
6 cos(x) +
0 sin(x) -

Det enda som återstår nu är att multiplicera ihop delarna i våra grupper och sedan summera resultatet, och glöm för allt i världen inte bort konstanten C:

\int \! x^3sin(x) \, \mathrm{d}x = -x^3cos(x)+3x^2sin(x)+6xcos(x)-6sin(x)+ C

Det där, mina kära läsare, är hur man integrerar med hjälp av Luffarschack. Jag hoppas att mitt exempel visade på styrkan hos den här metoden. Om inte, prova öka graden på polynomet. Metoden är inget jag använde i mina tidigare mattekurser, helt enkelt för att jag inte visste att den fanns, men jag tror att den kan fungera väl för att undvika enkla misstag som teckenfel.

Det här inlägget inspirerades av videon Tabular Integration in Stand And Deliver och detta föreläsningsmaterial av Oliver Knill, Harvard University.

Kommentera