Latex och kedjor

Inläggets titel kan man kalla för clickbait, för även om inlägget kommer att handla om typ Latex och typ kedjor, så är det kanske inte riktigt vad de flesta förväntar sig.

Latex är, förutom gummivarianten, ett typsättningssystem som man kan använda sig av för att formatera text. Det lämpar sig ypperligt för att skriva matematiska ekvationer och annat skoj. I matematiken finns en regel för derivator som kallas kedjeregeln, så nu har vi fått med kedjorna också.

När jag läste att WordPress, som min blogg använder, stödjer Latex blev jag förstås eld och lågor. Därför tänkte jag försöka skriva en del av mina anteckningar från senaste föreläsningen i flervariabelananlys och se hur det blir.

Kedjeregeln (en variabel)
D( f( g( x) )) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Alltså om du tar derivatan av en funktion som har en inre funktion så får du derivatan av den yttre funktionen som fortfarande omsluter den inre oförändrade funktionen multiplicerat med derivatan av den inre funktionen. Usch, det är svårare att förklara matematik med ord än det är att bara skriva det. Vi tar ett exempel:

Om vi tar g(x) = ln x från föregående exempel får vis:
D(f(ln x)) = f'(ln x)\frac{1}{x}

Okej, om vi tar ett lite trixigare exempel:
D((ln x)^2 + ln x) = 2lnx \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}(2ln x + 1)

Jag har lite problem att tyda mina anteckningar och jag behöver dessutom laga mat så jag kommer i resten av inlägget inte gå in på detalj varför det står som det gör, men det är nog lika bra det, matematiken får tala för sig själv helt enkelt.

Variabelbyte (en variabel)
Eulerekvationen lyder:
x^2 y'' - 2xy' + 2y = 2x^2 (x > 0, y = y(x))

Vi gör variabelbytet t = ln x, alltså x = e^t
y(t) = y(ln x)
y_x' = y' \cdot \frac{1}{x}
y_{xx}'' = (y''(ln x) \cdot \frac{1}{x})\frac{1}{x} + y'(ln x) \cdot (- \frac{1}{x^2})

Nu börjar det hända saker, det sista steget var i alla fall produktregeln för derivata tillämpat på det vi fick ut från steget innan. Vi kan förenkla uttrycket vi fick på slutet till detta:
y_{xx}'' = (y'' - y')\frac{1}{x}

Sätter vi in detta i Euelerekvationen som visades ovan får vi:
x^2(y'' - y')\frac{1}{x} - 2x \cdot y' \cdot \frac{1}{x} + 2y = 2x^2 \Leftrightarrow y'' - 3y' + 2y = 2e^{2t} (=2x^2)

Nu har vi fått oss en fin lite differentialekvation att lösa, tror jag. Vi vill få fram den homogena lösningen till ekvationen vilket vi får mha den karakteristiska ekvationen:
r^2 - 3r + 2 = 0 \Leftrightarrow r = 1 \lor r = 2
vilket ger:
y_h = Ce^t + De^{2t}

Huga, nu börjar vi närma oss, för att hitta partikulärlösningen gör vi en ansats: (eller kanske en insats, fniss)
y = Ate^{2t}
y' = (A + 2At)e^{2t}
y'' = (2A + 4At)e^{2t}

Insatt i ekvationen vi fick lite högre upp:
(2A + 4At)e^{2t} - 3(A + 2At)e^{2t} + 2Ate^{2t} = 2e^{2t} \Leftrightarrow 2A - 3A = 2 \Leftrightarrow A = -2

Detta ger oss partikulärlösningen:
y_p = -2te^{2t}

Nästa framme nu, så:
y(t) = Ce^t + De^{2t} - 2te^{2t}
y(x) = Cx + Dx^2 - 2x^2 \cdot lnx

Och roligare än så blir det inte gott folk. Det är stor risk för att det smög med sig nåt skrivfel, och det var väl inte så rolig läsning till å börja med. Men jag fick träna på att skriva Latex och förhoppningsvis kan det komma till användning inför framtiden.

PS Jag slängde in det här i CSS:en för att latexen skulle se lite bättre ut:
.entry-content img.latex {
box-shadow: none;
position: relative;
top: 6px;
}

Kommentera