månadsarkiv: april 2015

Latex och kedjor

Inläggets titel kan man kalla för clickbait, för även om inlägget kommer att handla om typ Latex och typ kedjor, så är det kanske inte riktigt vad de flesta förväntar sig.

Latex är, förutom gummivarianten, ett typsättningssystem som man kan använda sig av för att formatera text. Det lämpar sig ypperligt för att skriva matematiska ekvationer och annat skoj. I matematiken finns en regel för derivator som kallas kedjeregeln, så nu har vi fått med kedjorna också.

När jag läste att WordPress, som min blogg använder, stödjer Latex blev jag förstås eld och lågor. Därför tänkte jag försöka skriva en del av mina anteckningar från senaste föreläsningen i flervariabelananlys och se hur det blir.

Kedjeregeln (en variabel)
D( f( g( x) )) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Alltså om du tar derivatan av en funktion som har en inre funktion så får du derivatan av den yttre funktionen som fortfarande omsluter den inre oförändrade funktionen multiplicerat med derivatan av den inre funktionen. Usch, det är svårare att förklara matematik med ord än det är att bara skriva det. Vi tar ett exempel:

Om vi tar g(x) = ln x från föregående exempel får vis:
D(f(ln x)) = f'(ln x)\frac{1}{x}

Okej, om vi tar ett lite trixigare exempel:
D((ln x)^2 + ln x) = 2lnx \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}(2ln x + 1)

Jag har lite problem att tyda mina anteckningar och jag behöver dessutom laga mat så jag kommer i resten av inlägget inte gå in på detalj varför det står som det gör, men det är nog lika bra det, matematiken får tala för sig själv helt enkelt.

Variabelbyte (en variabel)
Eulerekvationen lyder:
x^2 y'' - 2xy' + 2y = 2x^2 (x > 0, y = y(x))

Vi gör variabelbytet t = ln x, alltså x = e^t
y(t) = y(ln x)
y_x' = y' \cdot \frac{1}{x}
y_{xx}'' = (y''(ln x) \cdot \frac{1}{x})\frac{1}{x} + y'(ln x) \cdot (- \frac{1}{x^2})

Nu börjar det hända saker, det sista steget var i alla fall produktregeln för derivata tillämpat på det vi fick ut från steget innan. Vi kan förenkla uttrycket vi fick på slutet till detta:
y_{xx}'' = (y'' - y')\frac{1}{x}

Sätter vi in detta i Euelerekvationen som visades ovan får vi:
x^2(y'' - y')\frac{1}{x} - 2x \cdot y' \cdot \frac{1}{x} + 2y = 2x^2 \Leftrightarrow y'' - 3y' + 2y = 2e^{2t} (=2x^2)

Nu har vi fått oss en fin lite differentialekvation att lösa, tror jag. Vi vill få fram den homogena lösningen till ekvationen vilket vi får mha den karakteristiska ekvationen:
r^2 - 3r + 2 = 0 \Leftrightarrow r = 1 \lor r = 2
vilket ger:
y_h = Ce^t + De^{2t}

Huga, nu börjar vi närma oss, för att hitta partikulärlösningen gör vi en ansats: (eller kanske en insats, fniss)
y = Ate^{2t}
y' = (A + 2At)e^{2t}
y'' = (2A + 4At)e^{2t}

Insatt i ekvationen vi fick lite högre upp:
(2A + 4At)e^{2t} - 3(A + 2At)e^{2t} + 2Ate^{2t} = 2e^{2t} \Leftrightarrow 2A - 3A = 2 \Leftrightarrow A = -2

Detta ger oss partikulärlösningen:
y_p = -2te^{2t}

Nästa framme nu, så:
y(t) = Ce^t + De^{2t} - 2te^{2t}
y(x) = Cx + Dx^2 - 2x^2 \cdot lnx

Och roligare än så blir det inte gott folk. Det är stor risk för att det smög med sig nåt skrivfel, och det var väl inte så rolig läsning till å börja med. Men jag fick träna på att skriva Latex och förhoppningsvis kan det komma till användning inför framtiden.

PS Jag slängde in det här i CSS:en för att latexen skulle se lite bättre ut:
.entry-content img.latex {
box-shadow: none;
position: relative;
top: 6px;
}

¡Vivir con miedo es cómo vivir a medias!

Du som kan spanska kan säkert översätta inläggets titel, men även den som sett filmen Strictly Ballroom har en chans.

Trots att mi no habla español utan istället tillhör den sistnämnda gruppen kan jag avslöja att det betyder ungefär ”Ett liv levt i rädsla är ett liv levt till hälften.”

Det börjar närma sig final i årets säsong av Let’s Dance och då danshungern inte riktigt kan hejda sig hos mig tänkte jag att det vore kul att se en dansfilm. För er som inte hört talas om Strictly Ballroom kan jag säga att det är en australiensisk romantisk dramakomedi som handlar om dans och danstävling. Att den är australiensisk är anledning nog att se den. Komedi är ingen favoritgenre hos mig men i den här filmen tycker jag att den tillåter handlingen att utvecklas i ett högt tempo vilket höjer underhållningsvärdet. Soundtracket är bra, särskilt om man gillar Cindy Laupers Time after Time. Scenen på taket med Coca-Cola-skylten1 är magisk!

Filmen är helt klart köpvärd, för det är en film som man mår bra av och som funkar att se ensam eller med vänner och familj. Så jag tänkte, varför inte köpa den, en över 20 år gammal film kan inte kosta en förmögenhet. Eftersom att jag inte har någon DVD-spelare så blev jag väldigt glad när jag såg att den fanns tillgänglig för nedladdning på Itunes. Eller ja, väldigt glad är väl att ta i, Itunes är ju inte det bästa världen fått beskåda, men det fanns inga bättre alternativ. Så jag loggar in på mitt Itunes-konto, försöker leta upp filmen, går lite trögt och till slut får jag fram ett meddelande som löd ungefär ”Denna film är inte tillgänglig i din region.”

Jahopp, det var ju tråkigt tänkte jag, tråkigt för dem. För min del fick jag helt enkelt gå över till plan B. Jag slängde ut mitt magiska nät, gick och borstade tänderna och när jag kom tillbaka så fanns filmen där. Jag kan inte gå in på detaljer för hur det riktigt gick till, men för att citera Filip Hammar när han bjuder Fredrik på en magisk kaka: ”De som fattar, fattar.”

Nåväl, back to Sweden och Let’s Dance. Om jag får tippa resultatet tror jag att vi får se Serneholt mot Björkman i finalen och väl där tror jag att Björkman vinner om han dansar så att domartrion ger 28 poäng eller högre per dans. Serneholt har ju varit den bättre dansaren genom säsongen men svenska folket verkar ha charmats av tennislegendaren. Hur det faktiskt blir får vi se, spännande är det i alla fall.

  1. Hur många bindestreck ska det vara egentligen?

Return of the Jedi

Hej!

Vad roligt att du hittat hit och roligt att jag också hittat hit efter mitt långa avbrott. Det här inlägget får agera som uppvärmning och förhoppningsvis kommer det något mer innehållsrikt inom kort.

Jag kan passa på att nämna att jag äntligen lagat kodformateringen i mitt inlägg Gamla vanor. Det var inget större fel, men nu ser det ännu bättre ut, så om ni vill kan ni läsa det igen.

Idag, den 15e april, är det många som skickar sin ansökan för högskolestudier. Under mitt påsklov var jag på besök hos min alma mater Mälardalens Högskola. Det är en väldigt fin skola och det var en mycket trevlig miljö i deras bibliotek. Jag tror jag satt mer i biblioteket under den här påsklovsveckan än jag gjorde under mina hela två år som jag studerade där, vissa lär sig långsamt.

MDHs bibliotek.

En utsiktsbild från MDHs fräscha bibliotek.

Så om någon känner sig osäker på sitt val kan jag bara säga att både LiU och MDH är finfina skolor. En längre utläggning om vad som är bra och dåligt med båda skolorna vore kanske på sin plats, men det tar vi en annan gång.